Физика сознания. Мышление и квантовая физика: теоремы Геделя, Тарского и принцип неопределенности

Показано, что квантомеханические закономерности мышления находят свое отражение в парадоксах метаматематики и выражаются теоремами Тарского и Гёделя. Предложено соотношение неопределенностей для формального и семантического описания объектов в метаматематике и объяснение «парадокса лжеца». Полученные результаты могут быть применимы при создании искусственного интеллекта на основе квантовых компьютеров.
Ключевые слова: квантовая механика, квантомеханическое мышление, парадоксы метаматематики, формально-семантическое соотношение неопределенностей, искусственный интеллект, квантовый компьютер.

Если закономерности мышления подобны квантомеханическим [1], то это значит, что принцип неопределенности должен проявляться и в сфере математического мышления. И в самом деле, в метаматематике, занимающейся анализом оснований математики и математического мышления, существует теорема Тарского, выражающая принцип неопределенности в математической логике: Если теория А непротиворечива, то диагональная функция D и множества U всех истинных предложений теории А не могут быть одновременно определимы в А [5]. Здесь D — функция нумерации высказываний в модели А. Это функция формул и она отражает формальный аспект в теории А. Множество всех истинных предложений теории А выражает семантику этой теории. Таким образом формальное и семантическое описания теории А одновременно неопределимы и дополнительны. Тогда возникают два крайних случая, рассматриваемых в метаматематике: либо в непротиворечивой теории определима диагональная функция D, а множество ее истинных предложений U не определимо, либо D не определима при определенности U. Если D сопоставить некоторый оператор , а U — оператор , то мы можем получить выражение, связанное с некоммутативностью этих функций или операторов:
(1)

Соответственно, если не рассматривать, как выше, вырожденные случаи и ввести некоторые меры m(D) и m(U) на пространствах функций D и U, то мы можем записать аналог физического отношения неопределенности в метаматематике:
ΔD·ΔU≥ z (2)
где ΔD и ΔU — меры отклонения D и U от истинных значений. Неточности определенности величин D и U не могут быть меньше некоторой константы в теории А. То есть ошибка одновременного измерения (или вычисления) ΔD и ΔU не может быть меньше константы z. Отсюда следует теорема:
Теорема: В вероятностном смысле при наличии неточностей (или меры неопределенности) D и U могут одновременно быть определимыми в А^[1].

Таким образом, строго формальное описание теории не имеет никакого истинного или семантического содержания, а в случае семантически истинной теории не существует формализованного описания, каким бы сложным оно не было. Это справедливо для многих разделов математики, в том числе и для рекурсивной арифметики, на которую опирается теория квантов. В рассматриваемом представлении принцип неопределенности в самой квантовой механике формулируется следующим образом:
При энергетическом квантованном (числовом) описании кванто-механическая теория или система неразрешима в координатном представлении (координата не определена, то есть отсутствует, или определена со значительной неточностью). Справедливо и обратное: при полном пространственно-временном описании теория неразрешима в импульсно-энергетическом представлении.

В самом деле, признав за объектами, формальными, в том числе — логическими, объектами сознания, свойство наблюдаемости (при ненаблюдаемости самого сознания), а также их дискретность и конечность (языковые, символьные выражения), мы можем их сопоставить как формальные, наблюдаемые, дискретные объекты с квантованной энергией–импульсом.

Таким образом, формальный оператор аналогичен квантомеханическому оператору импульса

. Тогда семантическому оператору можно сопоставить оператор координаты . При этом аналогом пространственно-временной неопределенности ΔX будет неопределенность смысла ΔU. В результате еще раз сравним два положения в метаматематике и в квантовой механике:

По-видимому в этом же смысле можно интерпретировать и теорему Геделя о неполноте:
Теорема Геделя о неполноте:
Каждая логическая система, настолько богатая, чтобы содержать формализацию арифметики, либо ω-противоречива, либо содержит некоторую неразрешимую (хотя и истинную) формулу, т.е. такую формулу, что в данной системе ее нельзя ни доказать, ни опровергнуть (хотя с помощью дополнительных средств, выходящих за рамки этой системы, можно показать ее истинность), иными словами, любая данная ω-непротиворечивая система указанного типа (синтаксически и семантически) неполна и даже непополнима [5].

Таким образом эта теорема утверждает принципиальную невыразимость или невозможность вербализации (т.е. ненаблюдаемость) математических объектов (или объектов математического, да и любого другого, мышления). Любопытно отметить, что Гедель при доказательстве своей теоремы исходил из парадокса лжеца (некто говорит: «Я лгу»...). Но это утверждение можно расширить до градации оттенков выражения, т.е. ввести некоторую меру, что выявляет необходимость различения феноменального и семантического аспекта высказывания и снимает парадокс:
а)Чем более формально он говорит «я лгу», тем более семантически он говорит правду. Таким образом, формальный аспект формулы констатирует утверждение, которое внутри себя истинно и непротиворечиво, т.е. внутренне семантически правдиво, но бессодержательно.
б) Чем более эта фраза верна в семантическом, содержательном, истинностном аспекте, тем она менее верна формально, т.е. ее нельзя отнести к множеству формальных утверждений.

Таким образом возникают два случая:
1) (я лгу) — определено (definable), а (я лгу) — не определено (undefinable);
2) (я лгу) — не определено (undefinable), а (я лгу) — определено (definable),
в зависимости от того, в каком аспекте, формальном или семантическом мы рассматриваем это или другое утверждение.

В общем виде можно записать: Δf(я лгу)·Δs(я лгу)>const. Это формула обычных житейских выражений, где присутствуют в смешанном виде оба аспекта^[2], которые человеческий разум, в отличие от машины, обычно различает.

Отметим, что частным случаем этого соотношения является теория нечетких множеств Лофти-Заде, оперирующая нечетко определенными понятиями. В этом смысле она отличается от полной теории так, как описание редуцированной волновой функции в квантовой механике (что дает распределение вероятностей) от нередуцированной (что дает интерференцию и суперпозицию амплитуд вероятностей формального и семантического аспектов). Здесь мы можем говорить о векторе состояния или волновой функции мышления ψ_B(f, s), содержащей оба дополнительных аспекта, и об операторах , , действующих на эту волновую функцию. Отметим, что чем проще формальное предложение, тем больше значений оно содержит^[3].

При этом, для волновой функции ψ_B(f, s) = (где R — аналог действия), могут быть записаны соответствующие квантомеханические уравнения:
(3)

С этой точки зрения, восприятие человеком целых чисел и умение оперировать ими могут быть отражением квантовых ячеек фазового пространства мышления, определяемых постоянной Планка ħ или ее аналогом z.

Если исходить из формулировки квантовой механики Р.Фейнмана в виде интегралов по траекториям, то можно рассматривать интегралы на формальном, знаковом и на семантическом, смысловом пространстве.

Так, логическое рассуждение можно представить как движение на формальном пространстве альтернативных траекторий^[4]. И наоборот, движение в семантическом пространстве альтернативных траекторий представляет собой процесс интуитивного познания^[5]. При этом наблюдение сознанием каких либо внутренних (психических) конструкций или образов можно описать формализмом комплексного гамильтониана М.Менского [6].

Теоремы Гёделя и Тарского связаны между собой. Как отмечается в [3, 5], если теорема Гёделя показывает принципиальную ограниченность любой достаточно богатой системы, то теорема Тарского демонстрирует ограниченность выразительных возможностей таких систем.

Если, с учетом вышесказанного, обратить эти рассуждения на квантовую механику, то мы обнаружим следующее. Во-первых, квантовая механика как система принципиально неполна. В частности, она допускает, в соответствии с теоремой Гёделя, недоказуемые утверждения о существовании скрытых переменных.

Подобные модели в рамках ортодоксальной квантовой механики были предложены Де-Бройлем, Вижье, Д.Бомом и др. В рамках расширенной системы квантовой механики, предложенной нами [2] эти модели справедливы как феноменологические. Во-вторых, ограниченность выразительных возможностей (по теореме Тарского) ортодоксальной квантовой механики определяется принципом неопределенности Гейзенберга (или принципом дополнительности Бора). Подобное рассмотрение может быть проведено и для других физических теорий. Так, например, классическая механика может быть полностью формализована за счет отказа от рассмотрения процессов в неравномерном, невырожденном ньютоновском пространстве-времени. Как показал А.Пуанкаре [4], либо мы рассматриваем силы, действующие на объекты классической механики, либо геометрию пространства, в котором эти объекты движутся. Эта дополнительность также, вероятно, соответствует теореме Тарского: геометрия пространства определяет множество истинных движений объектов.

Таким образом, использование связи теорем Гёделя, Тарского и принципа дополнительности позволяет выходить за рамки существующих теоретических схем^[6] с целью их совершенствования, обобщения и расширения границ познания. Понимание происхождения парадоксов мышления позволяет более целенаправленно перестроить основы математики. Кроме того, рассмотренные нами вопросы имеют прямое отношение к созданию и функционированию искусственного интеллекта, его умению различать смыслы и оперировать ими, а не только формальными конструкциями. В искусственном интеллекте, который может быть построен на основе квантовых компьютеров, отмеченные нами закономерности будут неизбежно проявляться. И одного формализованного программирования без семантического обучения будет недостаточно. Без соответствующего обучения семантические знания искусственного интеллекта могут формироваться случайным образом, в результате чего его поведение может стать непредсказуемым вследствие проявления формально-семантического соотношения неопределенностей (2).

[1] Мы не даем строгого доказательства этой теоремы, т.к. это не входит в задачи данной статьи.

[2] Именно это обстоятельство и вызывает трудности в системах искусственного интеллекта, машинного перевода и др.

[3] Простой пример — первобытный язык, где одно слово имеет несколько значений; и наоборот — в современном языке значение какого-либо понятия часто описывается многими фразами.

[4] Крайний случай — логика компьютеров.

[5] Крайний случай — интуитивное, медитативное проникновение в то, что любой символ или объект выражает собой весь мир, все его смыслы (как это отражено в Ведах, Упанишадах, ЛСД-отчетах). То же относится, например, и к эмоциональному восприятию: один поступок человека выражает его внутреннюю сущность.

[6] Кстати, принцип неопределенности действует и в современной теоретической физике: формальное описание настолько усложнилось (суперсимметрия, суперструны и др.), что утратило всякую семантику или истинность в виде связи с опытом. Предсказывается множество поколений элементарных частиц, но нет никаких семантических критериев или ограничений на их наблюдаемость.

Букалов А.В.

Мышление и квантовая физика: теоремы Геделя, Тарского и принцип неопределенности